Følgevirkninger af råstofgravning under grundvandspejlet

Bilag A: Matematisk løsning af vådgravningsproblemet

Det betragtede problem

Udvinding af sand, grus og andre råmaterialer under grundvandsspejlet giver anledning til sænkninger i den etablerede råstofsø og i grundvandsmagasinet omkring søen. Der søges en analytisk løsning på problemet med passende forudsætninger for derigennem at få en forståelse af processerne og bedømme den relative betydning af de ingående parametre.

Problemet er skitseret i Figur 1.1. Grundvandsmagasinet befinder sig i

området		, er homogent og isotropt og har
uendelig udstrækning.

Der anvendes rotationssymmetri, d.v.s der udgraves en cirkulær sø, således at sænkningen h (m) i forhold til begyndelsesniveauet afhænger af r og t.

Grundvandsmagasinets transmissivitet er

, hvor

er den

hydrauliske ledningsevne. Gravehastigheden antages at være konstant i tiden, hvilket betyder at arealet af den blotlagte sø vokser lineært med tiden.

Radius

af søen vokser følgelig med kvadratroden af tiden.

Sænkningen i selve søen,

er lig med sænkningen i

porøsitet

Det antages, at alt grundvand forbliver i søen

Skematisk illustration af vådgravning.

Den radiære grundvandsstrømning (m³/m²/s) er, idet det forudsættes, at sænkningerne er små, d.v.s

(1.1)

Kontinuitetsligningen svarende til afstanden r og tiden t lyder

(1.2)

Kombineres disse to ligninger fås strømningsligningen

(1.3)

Her betegnes (m²/s) diffusiviteten.

Sænkningen,

i den cirkulære sø ,

(1.4)

En global vandbalance bestemmer sænkningen

:

(1.5)

Venstre side udtrykker den vandmængde, der er strømmet fra

grundvandsmagasinet (

) ind i søen.

Det første led på højre hånd er vandvoluminet i søen

()

til tiden t, og det andet led er det under gravningen frigivne vand. Det tidsafledte udtryk for (1.5) kunne også være anvendt, men den integrerede form giver væsentlige regnelettelser.

1.1.3 Ligninger for sænkningen

Begyndelsessænkningen og sænkningen langt fra graven er 0. Ligningerne for

er nu,

(1.3-5):

(1.6)

Gravebetingelserne skal specificeres for at bestemme

Det antages, at gravehastigheden er konstant, og at gravning starter ved

.	Dette giver:

(1,7)

Her betegner

(m3) det udgravede volumen gennem en periode

hvilket betyder at

er proportional med kvadratroden af tiden:

(1.8)

Faktoren foran t giver en basisk dimensionsløs konstant

:

(1.9)

Ved at kombinere (1.8) og (1.9) fås:

(1.10)

Parameteren

er kvadratet på forholdet

.

Nævneren

er et mål for det påvirkede område til tiden t i forhold

til kanten af søen. En lille værdi af er udtryk for, at radius af det påvirkede område er stort i forhold til søens radius.

bestemmes nu ved løsning af følgende ligninger:

(1.11)

(1.12)

(1.13)

1.3 Analytisk løsning

Der søges en løsning på formen

(1.14)

Her betegner

det såkaldte eksponentielle integral:

(1.15)

Det eksponentielle integral er også kendt fra prøvepumpningsteorien som boringsfunktionen. Grafen er vist i Figur 1.3. Udtrykket (1.14) er en almindelig løsning til grundvandsproblemer i rotationssymmetri, herunder

ligning (1.11). Betingelserne (1.12) er opfyldte siden

går mod 0 når

går mod uendelig. Randbetingelsen (1.13) bliver:

(1.16)

bestemmelse sf konstanten

:

(1.17)

Integralet udregnes på følgende måde:

Ved indsætelse i (1.17) findes

:

(1.18)

Det endelige udtryk for løsningen		kan nu ved at kombinere (1.14)
og (1.18) skrives som:

(1.19)

Her er introduceret en ny funktion, et modificeret eksponentielt integral:

(1.20)

Grafen for funktionen er vist i Figur 1.2.

Sænkningen i søen,

findes ved indsættelse

af (1.10) i (1.19) og ved anvendelse af (1.4):

(1.21)

Den første faktor

er den maksimale

af

og

.

Det noteres, at sænkningen er

uafhængig af tiden.

Funktionen

(1.20), er vist i Figur 1.2.

Ved at anvende approksimationen (1.27) for det eksponentielle integral, fås

følgende asymptote for små værdier af

:

(1.22)

Funktionen

er givet ved (1.27).

Approksimationen er behæftet med en fejl mindre end 1% i det angivne interval, Figur 1.2.

For store værdier af		fås af (1.28)
den grove approksimation (Figur 1.2, nederst til højre):

(1.23)

Figur 1.2

Det modificerede eksponentielle integral	1m	(1.20) og dets
asymptoter (1.22-.23)

Værdien af

er normalt lille i praktiske sammenhænge.

I sådanne tilfælde kan anvendes tilnærmelsen (Figur 1.2, øverst til venstre og til højre):

(1.24)

Her er Euler’s konstant omskrevet for at få den numeriske konstant 0,56,

(		). Fejlen ved approksimationen er
igen mindre end 1% i det angivne interval. Indsættes (1.24) i (1.21) fås følgende udtryk til beregning af :

(1.25)

Fejlen ved approksimationen er mindre end 1% i det angivne interval for.
enhver værdi af porøsiteten

Fejlen er mindre end 5% for

1.5 Sænkning i grundvandsmagasinet

Sænkningen i grundvandsmagasinet,

afhænger

(1.26)

Sænkningen i søen,

er givet ved (1.21) eller approksimationen (1.25).

Værdien af h er lig		for		I grundvandsmagasinet varierer h som
.

Figur 1.3 viser

og funktionens asymptoter for små og store værdier

af

.

For små og store værdier af

,

er disse, (Abramowitz og Stegun, 1964):

(1.27)

(1.28)

Tallet 0.577 er Euler's konstant (

. Fejlen ved

approksimationen (1.27) er under 1% for

under 0.002%

for

og lig 9% for

. De første to led,

er tilstrækkelige for

. Den grove tilnærmelse (1.28) viser forløbet

af

for store argumenter. Den relative fejl er under 12% for

.

Sænkningen

i grundvandsmagasinet kan beskrives på følgende

måde. Lad

betegne den afstand i hvilken h har aftaget fra

til

, hvor p er et tal mellem 0 og 1. Af (1.26) fås:

(1.29)

eller

(1.30)

For

fås den basiske konstant

(1.9).

Figur 1.3.
Det exponentielle integral (1.15) og dets asymptote(1.27-.28).

1.6 Sammenligning med pumpning fra en boring

Sænkningen , omkring en boring, hvorfra der pumpes med konstant kapacitet (m³/s) er beskrevet ved Theis’ formel:

(1.31)

Ved sammenligning med (1.26) ses, at de to udtryk er analoge. Tages forholdet mellem de to sænkninger fås

(1.32)

Højre side af (1.32) er et tal, d.v.s der er et fast forhold mellem sænkningerne i grundvandsmagasinet beregnet efter de to metoder.

Indsættes (1.21) i (1.32) og anvendes (1.9) og(1.20), fås med

(1.33)

For små værdier af

fås

og

og , og dermed
Det gælder altså, at for små værdier af kan sænkningerne udenfor graven beregnes ved at anvende den traditionelle Theis formel, hvor

pumpekapaciteten

erstattes med

.

Taleksempel

Der betragtes et eksempel med følgende data:

H=20 m

=0,2

m2/s

m3

s (=1 year)

Heraf fås, (1.3) og (1.9):

m2/s

Af (1.22) og (1.27) fås:

Approximationen (1.24) giver værdien 0.00638. Sænkningen i søen fås af (1.21):

m

Approksimationen (1.25) giver det samme resultat.

Radius i råstofgraven og målet

for det påvirkede område bliver (1.8):

m

m

Her er		tiden i år. Kvadratet på forholdet mellem de to længder er
parameteren

Sænkningen i grundvandsmagasinet fås af (1.26) . Ved hjælp af (1.27) fås:

m

For eksempel fås:

m

for

m

m

for

m

m

for

m

Disse tre tilfælde svarer i formlerne (1.29-.30) til henholdsvis

()

,

(

)

and

(

).

Hvis man i stedet for gravning af 200,000 m³ pr. år opfattede processen som oppumpning af 200,000 m³ grundvand pr. år fås, (1.31), for eksempel

for

:

m, år,

m

Det tilsvarende resultat ovenfor fås netop ved multiplikation med