| Forside | | Indhold | | Forrige | | Næste |

Risikovurdering ved anvendelse af vandingskanoner til udspredning af gylle fortyndet med vand

Bilag A Speciel behandling af dråber

Ud over at blive disperseret på grund af turbulensen i den omgivende luft vil en sky af vanddråber også være i fald mod jorden, og dråberne vil fordampe om den relative luftfugtighed er under 100%. Faldet og fordampningen beregnes her ved løsning af masse-, bevægelsesmængde- samt energi-ligningerne for en enkelt dråbe, idet alle dråber af den aktuelle dråbes størrelse antages at opføre sig ens og iøvrigt ikke påvirke hinanden. Desuden er det antaget at dråbernes indflydelse på temperatur og fugtighed af den omgivende luft er så lille, at den kan negligeres.

Masseligningen er omformet til en ligning i dråbediameteren, bevægelsesmængdeligningen til en dråbehastighedsligning og energiligningen til en temperaturligning. Størrelse, hastighed og temperatur af dråben samt temperatur og relativ fugtighed af luften er afgørende for friktionen, varmetransporten til dråben samt fordampningen, og dermed af de tidslige ændringer i størrelse, hastighed og temperatur.

1.1 Masse ligning

Masse ligningen for en dråbe udtrykker, at tilvæksten i dråbemasse er lig med kondensationen af damp på dråboverfladen. Den er beskrevet ved udtrykket

hvor m er dråbens massse, d dens diameteren, og G er masse fluxen af vand på dråbens overflade [kg/m²/s] regnet positiv mod dråben.

Masse fluxen G skyldes diffusion af vanddamp mellem dråbeoverfladen og luften omkring. Den er beskrevet ved udtrykket

hvor Sh er Sherwood tallet, D er diffusionskoefficienten for vanddamp i nitrogen (luft), M_H2O er vands molekylvægt, R den universelle gaskonstant, T den absolutte temperatur, p_H2O,a er partialtrykket af vanddamp i den omgivende luft, og p_H2O,s er partialtrykket af vanddamp ved dråbens overflade. Index-f indikerer at parameteren skal beregnes ved den såkaldte film-temperatur, dvs. middelværdien af omgivende lufts og dråbeoverfladens temperaturer.

Af ovenstående ligninger samt af udtrykket for en kugles rumfang fås ligningen til bestemmelse af kuglens diameter

Her er r_H2O massefylden af flydende vand.Damptrykket ved dråbeoverfladen er sat til mætningstrykket svarende til overfladens temperatur, så i ovenstående ligning er det kun Sherwood tallet, der behøver at blive modelleret. Bird, Steward, Lightfoot (1960) angiver følgende udtryk

hvor Reynolds- og Schmidt-tallene for dråben er defineret som

Her er v dråbe hastighed relativt til luften, r_a er luftens massefylde, og m_a er luftens dynamiske viskositet.

1.2 Bevægelsesmængdeligningen

Bevægelsesmængdeligningen for en dråbe udtrykker at den tidslige tilvækst i bevægelsesmængde er lig de ydre kræfters sum, dvs. summen af tyngdekraften og friktionskraften. Ligningen kan skrives

hvor g er tyngdeaccelerationen og sidste led er friktionskraften. Her er f en faktor, der beskriver friktionens mere end propertionale øgning med hastigheden v. I henhold til Boothroyd (1971), kan f modelleres som

Med definitionen

kan bevægelsesmændeligningen skrives

som for t_m konstant i integrationstidssteppet giver

Her er v₀ dråbehastigheden til tiden t = 0, dvs. ved starten på tidssteppet.

1.3 Energiligningen

Dråbeenergiligningen udtrykker at den tidslige tilvækst i termisk energi er lig den ved kondensationen frigjorte varmeenergi plus den med luften ved konvektion og varmeledning udvekslede varmeenergi. Energiligningen kan skrives

hvor Cp_H2O er vands varmekapacitet, T er dråbens temperatur, h_evap er vands fordampningsvarme ved dråbeoverfladetemperaturen T_s, Nu er Nusselt-tallet, k er luftens varmeledningsevne, og T_a er omgivende lufts temperatur. Nusselt-tallet modelleres af såvel Boothroyd (1971) som Bird, Steward, Lightfoot (1960) som

hvor Prandtl-tallet er defineret som

Bemærk at Nu her og Sh i masseligningen ovenfor er modelleret ens. Det skyldes at de fysiske mekanismer ved varme- og masse overgang er ens.

Med definitionen

og med antagelsen, at dråbeoverfladetemperaturen kan sættes lig dråbens indre temperatur, kan energiligningen skrives

Denne kan integreres på samme måde som bevægelsesmængdeligningen ovenfor og giver da

hvor T₀ er dråbetemperaturen ved t = 0, dvs. ved tidssteppets begyndelse.

1.4 Materiale-størrelser

Materiale-størrelsesmodellerne er delvist taget fra Field et al. (1967), delvist lavet som polynomiumstilnærmelser til data i Kristensen (1972).

Med trykket p ydtrykt i Pascall [Pa] og temperaturen T i grader Celsius [deg C] er de anvendte modeller følgende:

Lufts varmekapacitet [J/kg/K]
Cp_a = 0.039207*T+1005.08

Lufts varmeledningsevne [W/m/K]
k = 7.72247E-05*T+0.024293

Lufts massefylde [kg/m³]
r_a = 0.00348448*P/(T+273.15)

Lufts dynamiske viskositet [m²/s]
m_a = 4.56828E-08*T+1.72335E-05

Binære diffusionskoefficient for blanding af vanddamp og nitrogen [m²/s]
D = 1.1841E-04*(T+273.15)**1.75/P

Vands varmekapacitet [J/kg/K]
Cp_H2O = 4200.0

Vands massefylde [kg/m³]
r_H2O = ((3.98136E-005*T-0.00829678)*T+0.0800829)*T+999.797

Vands fordampningsvarme [J/kg]
h_evap = 2500600.0-2363.14*T

Vanddamps mætningstryk [Pa]
p_H2O,s = ((0.0738426*T-0.214983)*T+60.6037)*T+600.244

1.5 Tidsstep-bestemmelse

Integrationstidssteppet angivet i sekunder [s] er normalt bestemt som

Det giver et tidsstep i løbet af hvilket enten hastigheden eller temperaturen når halvvejs til dens quasi stady værdi. I tilfælde af at dette tidsstep skulle give en hastighedsændring på mere en 0.2 m/s, bliver det reduceret, så at denne værdi ikke overskrides.

1.6 Konklusion

Med beregningssekvensen: materiale-størrelser, overgangskoefficienter, tidssteppet, diameteren, hastigheden, og til sidst temperaturen, giver ovenstående model en hurtig og stabil bestemmelse af en dråbes opførsel, dvs. dens størrelse, faldhastighed og temperatur som funktion tid samt af omgivende lufts temperatur og fugtighed.