Følgevirkninger af råstofgravning under grundvandspejlet

3. Løsninger fra litteraturen

3.1 Varmeledning i faste stoffer

Matematisk beskrives grundvandsstrømninger ved hjælp af de samme ligninger som beskriver varmeledning i faste stoffer, og en række velkendte løsninger på grundvandsstrømninger er da også hentet fra varmelæren ved at udnytte analogien. Når en råstofgravning opfattes som en ændring af magasintallet inde i graven, er analogien til varmeledning en ændring af materialets tilstand, f.eks. størkning eller smeltning. Herved ændres både den termiske ledningsevne og varmekapaciteten af materialet, svarende til, at der i det tilsvarende grundvandsproblem sker en ændring af den hydrauliske ledningsevne og magasintallet i råstofgraven. Disse fysiske ændringer sker på den ene side af en bevægelig front, der adskiller de to tilstandsformer, og der foregår en strømning af varme, henholdsvis grundvand, over denne front som følge af de fysiske ændringer.

Problemstillingen med en bevægelig front har i varmelæren været undersøgt så tidligt som i 1891 af Stefan, som opstillede ligninger til bestemmelse af polarisens tykkelse. Carslaw og Jaeger (1959) angiver løsninger i en del tilfælde. Disse er mere komplicerede end det tilsvarende grundvandsproblem, fordi der foregår varmestrømning på begge sider af skillefladen, hvilket ikke er tilfældet i grundvandsproblemet, hvor der i graven ikke er nogen hydraulisk gradient og derfor ingen strømning. Det, at skillefladen bevæger sig, frembyder særlige problemer, som gør det matematiske problem ikke-lineært, hvilket betyder at antallet af foreliggende analytiske løsninger er begrænsede. Kreith og Romie (1955) viste, at en analytisk løsning normalt kun kan findes, hvis temperaturgradienten over skillefladen er konstant i tid og sted.

I tilfældet med lineær strømning, altså strømning i kun én retning, findes flere løsninger, som dog ikke er relevante, fordi der stilles krav til begyndelsesbetingelser, som ikke er realistiske i en grundvandssammenhæng. F.eks. giver Carslaw og Jaeger (1959), p .292 en eksakt løsning til et tilfælde med en front, der bevæger sig med konstant hastighed. For at få fjernet den nævnte ikke-linearitet kræves, at begyndelsestemperaturen ved x = 0 er negativ og vokser eksponentielt med tiden., hvilket gør løsningen uanvendelig i alle praktiske sammenhænge. Samme sted, p. 295, angives en løsning i det radiære tilfælde, hvor
skillefladen bevæger sig med		, hvor t er tiden. Samtidig foregår der
en varmeproduktion (der pumpes), og begyndelsesbetingelserne kræver et eksisterende cylindrisk område (en eksisterende grav) med en temperaturforskel over skillefladen, hvilket ikke finder sted i grundvandsproblemet.

I varmelæren beskrives eksempler på varmeledning i et fast stof der har modstandsfri kontakt til en perfekt varmeleder med foreskreven temperatur, altså et legeme med samme temperatur overalt til enhver tid. Dette svarer netop til strømningen omkring en råstofgrav, idet råstofgraven har samme vandspejlsniveau overalt. Carslaw og Jaeger (1959), p.342, giver løsningen til temperaturfordelingen i et uendeligt område begrænset internt af en cylindrisk perfekt leder med konstant varmeproduktion. Denne løsning er anvendt af Papadopoulos og Cooper (1967) til at beregne sænkningerne i en boring med stor diameter, hvorfra der pumpes med konstant kapacitet.

Et tilsvarende og velkendt problem i lineær strømning er et halvuendeligt medium med foreskrevet overfladetemperatur gennem kontakt med en perfekt varmeleder. Jacob (1950) benyttede analogien til grundvandsstrømninger til at bestemme hydrauliske parametre for et grundvandsmagasin med kontakt til havet, og hvor vandstanden svinger i takt med tidevandsfluktuationen.

Imidlertid har alle kendte løsninger, som involverer en perfekt varmeleder, fast rand, og derfor er der ingen af disse løsninger, der umiddelbart kan anvendes til at beskrive det aktuelle grundvandsproblem.

3.2 Grundvandsstrømninger

Løsninger til grundvandsproblemer skal findes primært i litteratur vedrørende minedrift. En stor del af denne litteratur er rettet mod en beskrivelse af de geokemiske ændringer, som minedriften forårsager. De strømningstekniske løsninger knytter sig væsentligst til oppumpning af grundvand fra mineskakter eller råstofsøer, og især forholdene efter endt minedrift er beskrevet. Der er derfor typisk tale om løsninger med fastholdt geometri. Et eksempel kan findes i Koch (1986), hvor der angives semi-empiriske løsninger til råstofgravning, som kontrolleres ved en sammenligning med Theis løsninger for sænkningerne omkring en boring. Løsningerne er ikke anvendelige i denne sammenhæng, fordi der regnes med fast rand, og råstofgravningen ækvivaleres med pumpning af grundvand. Aral og Sturm (1982) foretog en 3D finite element analyse af at pumpe fra en lavvandet sø i rotationssymmetri, men igen anvendes fast geometri. Lignende arbejde er publiceret af Hamilton og Wilson (1977), men med hovedvægt på de regionale strømningsforhold omkring graven. Ingen af de nævnte publikationer præsenterer egentlige feltdata.

Landberg (1982) udfører ligeledes modelarbejder til undersøgelse af strømningen omkring grusgrave og præsenterer sænkningsdata fra et konkret graveprojekt.