| Forside | | Indhold | | Forrige | | Næste |

Omfang og effekt af herbicidafdrift til læhegn

Appendiks 6

Dråbemodellen

Dråbemodellen beskriver dråbers fald mod jorden som følge af påvirkningen fra tyngdekraften, luftmodstanden samt fordampningen af vand. Faldet og fordampningen beskrives gennem løsning af masse-, moment-, og energi-ligningerne for en enkelt dråbe, hvor det antages at dråbens opførsel ikke er påvirket af de andre dråber i dråbeskyen. Det antages også, at der kan ses bort fra dråbens indflydelse på den omgivende lufts temperatur og fugtighed.

Masseligningen bliver omformet til en ligning for dråbens diameter, momentligningen til en ligning for dråbens vertikale hastighed og energiligningen til en ligning for dråbens temperatur. Sammen med luftens temperatur og fugtighed afgør dråbens temperatur, størrelse og hastighed, udvekslingen af masse, momentum og energi mellem dråben og den omgivende luft og dermed ændringen i dråbens temperatur, størrelse og hastighed.

Dråbemodellen er oprindeligt baseret på dråber bestående af rent vand (Astrup, 2005). Modellens evne til at modellere fordampning og faldhastighed for dråber med rent vand er blevet testet ved sammenligning med eksperimentelle data og andre modeldata. Til brug for dette projekt er dråbemodellen modificeret, således at der tages hensyn til at dråberne også kan indeholde opløste stoffer som fx. metsulfuron-methyl eller farvestoffet natriumfluorescein. Der er ikke taget hensyn til hjælpestoffer. De anvendte stoffer har lavt damptryk og antages derfor ikke at fordampe fra dråberne.

Masseligningen

Masseligningen for en dråbe udtrykker, at forøgelsen af en dråbes masse er lig med kondenseringen på dråbens overflade:

hvor t er tiden, m er dråbens masse, d diameteren og G er massefluxen af vand ved dråbens overflade [kg/m²/s], positive imod dråben.

Massefluksen G sker på grund af diffusionen af vanddamp mellem dråbens overflade og den omgivne luft og er givet ved:

hvor Sh er Sherwood-tallet, D diffusionskoefficienten for vanddamp i nitrogen (luft), M_H2O er vands molekylærvægt, R den universale gaskonstant, T den absolutte temperatur, p_H2O,a vanddamptrykket i luft, og p_H2O,s vanddamptrykket ved dråbens overflade. Sub-ƒ indikerer, at parameteren skal udregnes ved film-temperaturen, dvs. middelværdien mellem luft- og dråbeoverfladetemperaturen.

Kombinationen af disse ligninger giver:

hvor ρ_H2O er densiteten af flydende vand.

Vanddamptrykket ved dråbens overflade er taget som mætningstrykket ved dråbens overfladetemperatur, så den eneste parameter, der skal modelleres, er Sherwood-tallet. Ifølge Bird, Stewart & Lightfoot (1960) kan dette blive udtrykt som:

hvor dråbens Reynolds- og Schmidt-tal er defineret som:

hvor v er dråbens hastighed relativt til luften, ρ_a er luftens densitet, og _a er luftens dynamiske viskositet.

Momentumligningen

Momentumligningen for en dråbe udtrykker at forøgelsen i momentum er lig med summen af de virkende kræfter, dvs. volumenkraften pga. tyngdekraften og overfladekraften pga. overfladefriktionen:

hvor g er tyngdeccelerationen og ƒ er en faktor der beskriver forøgelsen i flydemodstanden som afvigelse fra Stokes (krybende) flydning. Ifølge Boothroyd (1971) kan f modelleres som:

Med

kan momentumligningen transformeres til:

som for τ_m konstant gennem det integrerede tidsskridt giver:

hvor v₀ er dråbens hastighed ved t = 0, begyndelsen af tidsskridtet.

Energiligningen

Dråbe-energiligningen udtrykker, at forøgelsen i dråbens termiske energi er lig overskudsenergien (fordampnings-enthalpi) båret af den fordampende vanddamp plus energiudvekslingen med luften pga. konduktion og konvektion:

hvor Cp_H2O er vands varmekapacitet, T er dråbens temperatur, h_evap er vandfordampnings-enthalpien ved dråbens overfladetemperatur T_s, Nu er Nusselt-tallet, k er luftens varme konduktionskoefficient, og T_a er luftens temperatur. Nusselt-tallet modelleres ifølge Boothroyd (1971) og Bird, Stewart & Lightfoot (1960) som:

hvor Prandtl-tallet er defineret som:

Bemærk, at Nu her og Sh i den ovenstående masseligning modelleres ens. Dette skyldes, at de fysiske mekanismer i varme og masseudveksling er de samme.

Med:

og ved at antage at dråbens overfladetemperatur er lig med dråbens temperatur, kan energiligningen omskrives som:

Dette kan blive integreret på samme måde som momentumligningen:

hvor T₀ er dråbens temperatur ved t = 0, begyndelsen af tidsskridtet.

Materialeegenskaber

Materialeegenskaberne er dels fra Field et al. (1967), og dels fra fit til data i Kristensen (1972).

Lufts varmekapacitet [J/kg/K]
   Cp_a = 0,039207 T+1005,08

Lufts varme konduktionskoefficient [W/m/K]
   k = 7,72247E-05 T + 0,024293

Lufts densitet [kg/m³]
   ρ_a = 0,00348448 p/(T+273,15)

Lufts dynamiske viskositet [m²/s]
   _a = 4,56828E-08 T + 1,72335E-05

Vanddamps diffusionskoefficienten i nitrogen (luft) [m²/s]
   D = 1,1841E-04 (T+273,15)^1,75/p

Vands varmekapacitet [J/kg/K]
   Cp_H2O = 4200,0

Vands densitet [kg/m³]
   ρ_H2O = ((3,98136E-005 T - 0,00829678) T + 0,0800829) T + 999,797

Vandfordampnings-enthalpien [J/kg]
   h_evap = 2500600,0-2363,14 T

Mættet vanddamps tryk [Pa]
   p_H2O,s = ((0,0738426 T - 0,214983)T + 60,6037)T + 600,244

hvor p er trykket [Pa] og T er temperatur [C].

Tidsskridt
Tidsskridtet, t [s], i den numeriske integration er bestemt ved:

t = Max(0,001; 0,7 Min(τ_m, τ_e) )

Det giver et tidsskridt, hvor enten hastigheden eller temperaturen nærmer sig halvvevs til ligevægts værdien. Hvis hastigheden ændres mere end 0,2 m/s, så begrænses skridtet yderligere.

Dråber med opløst stof

Ved beregning af fordampningen og faldhastigheden for dråber, der ikke kun indeholder rent vand, men også aktive pesticider og/eller farvestoffer ændres dråbernes overfladedamptryk (Seinfeld og Pandis, 1998).

hvor λ er vandets aktivitetskoefficient og x_w er den molære fraktion af vand i opløsningen givet ved:

hvor n_w er antallet af mol af vand, og n_s er antallet af mol af det opløste stof. For dråber, hvor stoffet er helt opløst i vandet, er λ = 1. Det ændrede overfladetryk har indflydelse på masseligningen og dermed på fordampningen fra dråberne.

Der er en grænse for hvor meget vand der kan fordampe fra dråber der indeholdende metsulfuronmethyl eller natriumfluorescein. Der kan ikke fordampe mere vand fra dråben, når der er lige så mange mol vand og natriumfluorescein tilbage, da natriumfluoresceinen holder på resten af vandet. Tilsvarende forhold antages at gælde for metsulfuronmethyl. Damptrykkene for metsulfuronmethyl og natriumfluorescein er så lave, at stofferne ikke fordamper fra dråberne.

Det er i dråbemodellen afprøvet, om natriumfluoresceinkoncentrationen har nogen indflydelse på resultaterne i forhold til resultaterne for rent vand. Med de mængder natriumfluorescein, der bruges i forsøgene i dette studie, har indholdet af natriumfluorescein (som er ca. 100 gange højere end indholdet af metsulfuronmethyl) næsten ingen betydning for dråbefordampningsmodellens resultater i forhold til resultaterne for rent vand. Kun tæt ved den nedre grænse på dråbernes størrelse formindskes fordampningshastigheden lidt, men her foregår fordampningen alligevel så hurtigt, at det i forhold til transporttid og distance ikke har nogen betydning.

Evaluering af model

Modellens resultater er evalueret for rent vand ved sammenligning med to forskellige datasæt. De forudsagte faldhastigheder er sammenlignet med målte faldhastigheder for regnvand (Gunn og Kinzer, 1949, citeret i Rogers, 1979). Modellen er kørt med en relativ fugtighed på 100 % for at undgå fordampning og med en begyndelseshastighed på 0 m/s indtil dråben har opnået en ligevægtshastighed.

Det ses at de forudsagte faldhastigheder fra modellen stemmer overens med målte værdier.

Den gennemsnitlige dråbestørrelse ved nedslag 0,5 m under udgangspunktet for dråber med begyndelses-/dysehastighed på 20 m/s ved forskellig begyndelsesdråbestørrelse og relativ fugtighed er sammenlignet med værdier fra en anden dråbefordampningsmodel (Reichard et al., 1992 citeret i Asman et al., 2003) for at teste modellen evne til at beskrive fordampningen.

* Dråberne er fuldstændigt fordampet

Modellen forudsiger nedslagsdråbestørrelser af samme størrelse som den anden model men generelt lidt mindre dråbestørrelse.

| Forside | | Indhold | | Forrige | | Næste | | Top |

Version 1.0 September 2008, © Miljøstyrelsen.